加拿大滑鐵盧大學的毛治宇博士構建了一種兩尺度的數學模型用以描述某商業化電池的三元和錳鋰材料混合的正極性能(Journal of The Electrochemical Society, 163 (3) A458-A469 (2016))，作為研究，模型選擇扣式半電池為研究對象，其物理模型包括單顆粒尺度和電極尺度(如圖一)。

圖一：鋰離子混合正極體系半電池的兩尺度物理模型示意圖。

   結合實際測量，此模型的特點是包含兩種不同粒徑的三元材料和一種粒徑的錳酸鋰材料，而且它們均與電池的容量貢獻相聯系。通過測量活性材料的物理規格(如粒徑等)、設計規格(如電極碾壓密度、電導率等)，將所有的參數輸入數學模型，通過計算，所擬合的電極倍率曲線可以很好的描述電池的性能(如圖二)。

   圖二： (a)錳酸鋰三元材料混合正極(錳酸鋰：三元質量比=3:7)倍率曲線的實驗測量(圓圈)和模型模擬(實線)的對比圖；以及(b)在不同倍率下的放電容量對比圖。

    通過模型的定量分析技術，由于三元材料顆粒的嚴重團聚所造成很寬的粒徑分布，這對電池的容量產生很大的影響，即小顆粒可以充分被利用，提供高的容量，而團聚后形成的大顆粒則利用率低(如圖三)。
    這對材料供應商以及電池制作的工藝工程師均有指導性作用，如若在不影響正常涂覆的情況下，所合成的三元材料顆粒較小且均一性好，而且勻漿時盡量減少顆粒團聚，這樣所設計的電池的最終容量將會有大幅的提升。

   圖三：混合電極中，錳酸鋰顆粒以及三元材料大顆粒(micro group)和小顆粒(submicron group)的最大利用率與放電電流的關系圖

    此外，利用此數學模型，通過調整其它參數，也可以檢測哪些因素對電池最終性能影響最為敏感，從而對設計進行優化。例如，通過調整電極孔隙率，可知其變化是如何影響電池性能的，進而工藝工程師可通過調整電極烘干溫度、風速等來優化孔隙率，進而優化電池設計。